$\lim_{n \rightarrow \infty} \left(\frac{1}{n}+\frac{2 n}{n+1}\right)^{3}$

Veamos qué le pasa a cada término del paréntesis cuando $n$ tiende a infinito:

$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} = 0$

Este límite da cero, ya que se trata de un número sobre algo que tiende a infinito 😉

$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2n}{n+1}$

En este caso vemos que estamos frente a una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito". Pero notamos que se trata de un cociente de polinomios y tienen igual grado (😉). Como vimos en la clase de Indeterminaciones "Infinito sobre infinito" (Parte 1), nosotrxs en este caso, viendo la expresión, podemos darnos cuenta que este límite nos va a dar $2$. ¿Cómo lo justificábamos? Sacando factor común "el que manda". 

$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2n}{n \cdot (1 + \frac{1}{n})} = \frac{2}{1 + \frac{1}{n}} = 2$

Con lo cual, adentro del paréntesis tenemos algo que tiende a $0$ sumado a algo que tiende a $2$... Es decir, lo adentro del paréntesis está tendiendo a $2$, entonces...

$\lim_{n \rightarrow \infty} \left(\frac{1}{n}+\frac{2 n}{n+1}\right)^{3} = 2^3 = 8$

El resultado del límite es $8$ 😃