Volver a Guía

CURSO RELACIONADO

Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰

Ir al curso
ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 3: Sucesiones

Anterior Siguiente
3. Calcule, si existe, el límite de las siguientes sucesiones.
a) an=(1n+2nn+1)3a_{n}=\left(\frac{1}{n}+\frac{2 n}{n+1}\right)^{3}

Respuesta

Queremos calcular este límite:

lim⁡n→∞(1n+2nn+1)3\lim_{n \rightarrow \infty} \left(\frac{1}{n}+\frac{2 n}{n+1}\right)^{3}

Veamos qué le pasa a cada término del paréntesis cuando nn tiende a infinito:

lim⁡n→∞1n=0\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} = 0

Este límite da cero, ya que se trata de un número sobre algo que tiende a infinito 😉

lim⁡n→∞2nn+1\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2n}{n+1}

En este caso vemos que estamos frente a una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito". Pero notamos que se trata de un cociente de polinomios y tienen igual grado (😉). Como vimos en la clase de Indeterminaciones "Infinito sobre infinito" (Parte 1), nosotrxs en este caso, viendo la expresión, podemos darnos cuenta que este límite nos va a dar 22. ¿Cómo lo justificábamos? Sacando factor común "el que manda". 

lim⁡n→∞2nn⋅(1+1n)=21+1n=2\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2n}{n \cdot (1 + \frac{1}{n})} = \frac{2}{1 + \frac{1}{n}} = 2

Con lo cual, adentro del paréntesis tenemos algo que tiende a 00 sumado a algo que tiende a 22... Es decir, lo adentro del paréntesis está tendiendo a 22, entonces...

lim⁡n→∞(1n+2nn+1)3=23=8\lim_{n \rightarrow \infty} \left(\frac{1}{n}+\frac{2 n}{n+1}\right)^{3} = 2^3 = 8

El resultado del límite es 88 😃
Reportar problema
ExaComunidad
Iniciá sesión o Registrate para dejar tu comentario.